奥林匹克数学的基本特征及教育功能

1、奥林匹克数学的产生与发展

　　奥林匹克运动起源于古希腊，它原是关于体能的竞赛。数学奥林匹克与体育奥林匹克相类似，它是青少年智能的竞赛，智能和体能都是创造人类文明的必要条件，所以前苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词。国际数学奥林匹克(InternationalMathe2maticalOlympiads)简称IMO，是一项以数学为内容，以中学生为对象的国际性竞赛活动，至今已有30余年的历史。

　　数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题。解数学难题的竞赛至少可以追溯到16世纪初期。当时，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低。其中在意大利有过塔尔塔利亚(Tartaglia)和卡当诺(Cardano)关于解一元三次方程的激烈竞争。19世纪法国科学院也曾以悬赏的形式征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现，数学王子高斯就是比赛的优胜者。

　　公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣。

　　世界上真正有组织的数学竞赛开始于1894年，当时匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛。开始命名为埃特沃斯竞赛，后来，库而俄克大力推进了这一工作，为了纪念他，匈牙利中学数学竞赛又叫库而俄克竞赛。这一活动除两次世界大战和1956年匈牙利事件而中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，限四小时作完，允许使用任何参考书。这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的知识就可以解答，但又涉及许多高等数学的课题。中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助。匈牙利数学竞赛的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至国际数学奥林匹克的命题都产生了重大的影响。

　　自1894年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚、前苏联等东欧诸国相继举办全国性的数学竞赛，20世纪五六十年代，世界出现了一个举办中学数学竞赛的高潮。这种竞赛高潮的兴起，为国际数学奥林匹克的诞生奠定了基础。1956年罗马尼亚教授罗曼(Roman)发起了第一次国际数学奥林匹克，东欧诸国正式确定了开展国际数学奥林匹克计划，并于1959年7月，在罗马尼亚的古都布拉索夫举行了第一届国际数学奥林匹克，参加的七个国家都是东欧国家。以后的几届IMO，参赛国只限于东欧少数国家，实际上只有地区性而没有多少国际性。

　　直到20世纪60年代末才逐步扩大到西欧及美洲，发展成真正全球性的中学生数学竞赛。1990年在北京举行的第31届IMO有54个队，而2001年在美国举行的第42届IMO已有83个队、四百多名选手参加，基本上包括了世界上中学数学教育水准较高的国家。

　　现在，IMO已成为一项国际上最有影响力的学科竞赛，同时也是公认水平最高的中学生数学竞赛。我国的数学竞赛始于1956年。在著名数学家华罗庚、苏步青等人的倡导下，由中国数学理事会发起，北京、天津、上海、武汉四城市首先举办了高中数学竞赛。到第二年举办的城市更多。正当数学竞赛逐步向全国推广的时候，因面临严重经济困难，1959年和1961年数学竞赛被迫中断，至1965年，只零零星星地举行过6届。比赛前后，华罗庚等著名数学家直接给中学生作报告，在这些报告的基础上，出版了一批优秀的课外读物--数学小丛书，共计十三册，如华罗庚的《从杨辉三角谈起》，段学复的《对称》，史济怀的《平均》，姜伯驹的《一笔画及邮递线路问题》，苏步青的《非欧几何学》等，这是我国第一批“奥林匹克数学”学术著作。这段时间，我国数学竞赛活动的势头很好，对我国的中等教育与人才培养起了很好的作用，引起各界的关注。竞赛的方式、试题的难度、选手的水平等都与IMO相同或相近，我们完全可以走向世界，参加国际的角逐。但是，1966年开始的“史无前例”的文化大革命，使数学竞赛在中国完全绝迹。

　　1978年是科学的春天，我国的数学竞赛活动又重新开始，华罗庚教授亲自主持了规模空前的全国八省市数学竞赛，与此同时，许多省、市都恢复了数学竞赛。1979年从八省市的竞赛发展为除台湾以外的全国29个省、市、自治区的竞赛。由华罗庚教授任竞赛委员会主任，并主持命题工作。竞赛分初赛和决赛二试进行。1980年全国竞赛暂停一年。

　　1980年，在大连召开了第一届全国数学普及工作会议，代表们着重研究了数学竞赛工作，把全国数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，并正式定名为“全国各省、市、自治区高中联合数学竞赛”。从此，中国的数学竞赛有了一个常设的、学术性民办机构，开创了走向世界的新阶段。

　　全国高中联赛的命题贯彻在普及基础上提高的原则，要有利于促进中学数学教学改革、提高教学质量，有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于发现人才、培养人才，有利于参加IMO队员的选拔工作。试题的命题范围以高中数学竞赛大纲为准。从1981年开始，中国中学生数学竞赛以各省市联合竞赛的方式延续下来，1985年发展到初中，1990年延伸到小学。

　　1985年，我国派出两名选手参加第26届IMO以了解情况，投石问路，结果只获得一枚铜牌，与各国选手相比成绩处于中下。为了改变这一落后状况，提高我国在IMO中的成绩，加速培养数学人才，中国数学会决定：自1986年起，每年一月份由中国数学会和南开大学、北京大学、复旦大学、中国科技大学中的一所大学联合举办一次全国中学生数学冬令营。冬令营邀请各省、市、自治区头一年全国高中联赛的优胜者参加。自1991年起，冬令营定名为“中国数学奥林匹克”(简称CMO)。

　　CMO的考试方法类似于IMO，两天共考6题，每天3题，要求在4.5小时内完成，试题的难度接近于IMO，从中选拔出20余名队员组成国家集训队，然后经过集训，最后选出6名选手参加当年7月举行的IMO。

　　我国参加IMO的时间不长，但是，由于众多数学教育界知名专家、学者及集训队教练员、队员的共同努力，成绩突飞猛进。只经过短暂的4年就由开始参赛的中下水平一跃成为IMO的冠军，得到了国际数学界的公认。第31届IMO在中国的成功举行，更进一步提高了我国在国际教育界和科学界的地位。

　　IMO常务委员会主席、前苏联数学家雅克夫列副教授称赞道：“中国古代数学的卓越成就，和如今在IMO中的辉煌成果，都给人留下了深刻的印象。”

2、奥林匹克数学的基本特征

　　奥林匹克数学形成于数学竞赛活动，在这样的背景中形成的竞赛数学的知识形态是很特殊的，它不具备完整的知识体系和严密的逻辑结构，但又具有相对稳定的内容，通过问题和解题将许多具有创造性、灵活性、探索性和趣味性的知识、方法综合在一起，这就决定了这门学科的主要研究对象是竞赛数学命题与解题的规律和艺术，并且具有不同于其他数学学科的许多特征。

2.1 内容的广泛性

　　竞赛数学通过一个个千姿百态的问题和机智巧妙的解法，横跨传统数学与现代数学的各个领域，与代数、几何、数论、组合等保持着密切而自然的联系，但又不同于这些学科系统的专门研究，它可以随时吸收有趣味的、富有灵活性和创造性而又能为选手接受的问题，而不受研究对象的限制，因此这门学科比其他学科的内容更为广泛。

　　竞赛数学包含了传统数学的精华。数学历史上的著名问题，是历代数学大师的光辉杰作，是人类文明的宝贵财富，它们以别致、独到的构思，新颖、奇巧的方法和精美、漂亮的结论，使人们赏心悦目、流连忘返。由于种种原因，今天学校的课堂教学，没能提供机会让青少年学生接触这笔丰富的遗产，而竞赛数学继承和发扬了这笔丰富的遗产。这既说明了命题者的主观倾向，又说明了那些传统名题的教育价值。

　　竞赛数学吸收了能用初等语言表达，并能用初等方法解决的高等数学中的某些问题。这里的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学领域，渗透了高等数学中的某些内容、思想和方法。竞赛数学又不同于这些数学领域。通常数学往往追求证明一些概括的广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊问题；通常数学追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊的方法来解决特殊问题，而不需要高深的数学工具，这些问题往往可以从思考角度、理解方法和解题思路方面推出一种广义的认识。

2.2 命题的新颖性

　　由于竞赛题目难度大，为了保证题目的新意，许多竞赛题目不仅常常使用现代化的数学语言，而且体现了现代数学发展的趋势(主要是离散数学)，甚至有些内容就是科学研究的新成果。前沿数学家在自己的研究中遇到一些中间子问题，最终能用初等方法来解决，于是就变为不可多得的好试题。另外，对一些现代数学的研究成果经过简单化、特殊化后可以找到初等解法，更是竞赛试题的重要来源。正如竞赛专家乔治·西泽克斯(GeorgeSezekers)所说：“我所提出的问题几乎全部来自'实际生活'，那就是说，来自数学家的实际工作所产生的问题。”

　　例1(1986CMO第1题)a1，a2，？，an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+x2+？+xn=1的任意非负实数x1，x2，？，xn有不等式a1x1+a2x2+？+anxn≥a1x21+a2x22+？+anxnn成立。请证明上述命题及其逆命题。

　　这是命题者常庚哲先生科研中遇到的问题。例2(1990IMO预选题)10个地区之间有两个国际航空公司，在任意两个地区之间都有一直达航线(中间不停)，所有航线都是可往返的。证明至少有一个国际航空公司可以提供两条互不相交的环形旅行线，其中每条线上的站数是奇数。这一题目的背景是图论中的拉木赛(Ramsy)定理，以这一定理为背景的竞赛题目很多，也很有趣。解答这类问题主要应用染色方法及抽屉原理，而不要求具有高深和特殊的数学知识。

2.3 方法的创造性

　　奥林匹克数学是才智的角逐。解竞赛题虽然离不开一般的思维规律，也有一些使用频率较高的方法和技巧，但没有固定的常规模式可循，它需要纵观全局的整体洞察力，敏锐的直觉和独创性的构思，要求学生自己去探索、尝试，通过观察、思考发现规律，寻求解决问题的有效途径。一些有固定模式可以遵循的问题，不属于奥林匹克数学。

　　例3(1983IMO第6题)设a、b、c是三角形的三边长，求证：

　　a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0并说明等号何时成立。

　　16岁的西德选手波恩哈德·李由于对此题的巧妙求解而被授予奥林匹克特别奖。首先，他记左边为I，由于多项式I是轮换对称的，不妨设a≥b，c，故有I=a(b-c)2(b+c-a)+b(a-b)(a-c)(a+b-c)≥0

　　显然，I=0的充要条件是a=b=c.

3、奥林匹克数学的教育功能

　　从教育的角度看，奥林匹克数学竞赛是以开发智力为根本目的，以问题解答为基本形式，以竞赛数学为主要内容，且具有综合教育功能的数学教育.这种教育有明显的选拔功能、激励功能、导向功能。概括地讲，奥林匹克数学的教育功能主要表现在以下几个方面：

3.1 奥林匹克数学教育有利于发现人才

培养人才通过数学竞赛可以及时发现人才、选拔人才，并通过适当的方式加以特殊培养，促使人才加快成长。

　　例如，较早开展数学竞赛的匈牙利，虽然是一个小国，却培养出一大批世界级科学家。历届IMO的获得者中有不少取得了辉煌的成就。因此，奥林匹克数学教育是引导有才能的青少年步入科学殿堂的阶梯；是发现和培养新一代学者和科技人才的重要手段。美国数学竞赛委员会顾问特尔勒教授就曾指出：“在IMO的参加者中，十分可能产生新一代的数学领袖。”

　　在科技高速发展的今天，数学作为一门重要学科，其思维的素质不仅对自然科学、工程技术等方面有用，而且更渗透到社会科学、人文科学等领域。因此，数学竞赛不仅造就数学人才，同时，也更大量地为各个学科储备科技领袖与擅于科学决策的管理人才。例如，从1969年开始到1983年的16次诺贝尔经济奖中，有9次由数学家获得，这充分表明良好的数学素质对众多领域都有着重要作用。

3.2 奥林匹克数学可激发青少年学习数学的兴趣

　　“兴趣”是指人们积极探索某种事物的认知倾向。兴趣来源于动机，动机来源于需要，而需要来源于价值观。要使学生对数学学习有兴趣，必须使他们亲自感受与体验到数学知识的无限魅力。奥林匹克数学问题从结构到解法都充满着艺术的魅力和诱人的趣味，其间所蕴含的数学思想和方法闪烁着人类智慧的结晶和伟大的创造力，它吸引人们积极探索，给学生提供了充满生机的学习情境和体验数学思辨力量的机会。

　　此外，数学竞赛采用“问题与解答”的方式，具有公开的竞争性，每一场竞赛都是选手们价值的自我发现、自我实现的机会，使得它具有良好而鲜明的激励功能。因此，通过数学竞赛，可以有效地发展学生科学探索精神，激发学生学习数学的兴趣，并从中确立理想、信念等价值观念。

3.3 奥林匹克数学对中学数学课程改革起促进作用

　　奥林匹克教育作为一种较高层次的教育活动，从一定意义上讲，也是某种数学教育的试验，因而它对中学数学教育的改革会产生一定的影响。作为联系着中学数学与现代数学的“中间数学”，在其教育活动中，许多现代数学的新思想、新方法、新内容不断地渗透、影响着中学数学。通过竞赛活动，让现代数学的内容先在“中间数学”进行试验，到了教师和学生都能普遍接受的时候，再稳妥地渗透和部分地移植到中学数学课程中去。日本数学教育家早在60年代国际数学教育现代化盛行期间就指出：“集合与向量成为中学数学教育的内容，在10年前还是微不足道的特殊见解，但今天它却已成了常识”。现在，在数学竞赛中出现的内容，如集合、关系、映射、矩阵都已变成诸多国家中学数学教材中成熟的内容。

3.4 奥林匹克数学教育重视能力培养

　　数学教育的主要任务是培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力。数学竞赛是一种智力竞赛，它要求学生能解各种各样的数学难题，这一性质就要求人们注重智力的开发与能力的发展。在这一教育活动中，它不仅包括了许多重要的数学思想方法，如观察试验、归纳猜想、类比联想、一般与特殊、数形结合等思维方法，同时也渗透了如观察、探索、枚举、化归等现代数学的思想、解题策略等。

　　另外，在数学竞赛题目中，有许多涉及到实际应用的问题，如计数、图论、逻辑、抽屉原理等。解决这类问题，一般都需要对实际问题的数学意义进行分析、归纳，把实际问题抽象成为数学问题，然后用相应的数学知识和方法去解决。在这一构造数学模型的过程中，能够有效地培养学生用数学观点看待和处理实际问题的能力，提高学生用数学语言和模型解决实际问题的意识和能力，提高学生揭示实际问题中隐含的数学概念及其关系的能力等等。使学生能够在这一创造性思维过程中，看到数学的实际作用，感受到数学的魅力，增强学生对数学美的感受力。在强调素质教育的今天，奥林匹克数学的这一教育功能有着更为重要的现实意义。